MY PINK DIARY: Mei 2015

BAB VI BENTUK-BENTUK FUNGSI REGRESI DAN PENAKSIRANNYA

07.26 | Label: TUGAS

Pengantar Ekonometrika

BAB VI

BENTUK-BENTUK FUNGSI REGRESI

DAN PENAKSIRANNYA

Oleh:

RANA YUSPITA

1305102010044

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS SYIAH KUALA

DARUSSALAM, BANDA ACEH

2015

BAB VI

BENTUK-BENTUK FUNGSI REGRESI DAN PENAKSIRANNYA

6.1 Bentuk-bentuk Fungsi Model Regresi

Dalam analisis digunakan istilah regressand yang berarti variable tergantung (depent variable) dan regresssors yang berarti variable bebas (independent variables) atau variable penjelas (explanatory variables).

1. Model-model: Double-log, Log-linear, atau constant-elasticity

Perhatikan model berikut:

Y_i = α_oX_i^-βe^ui

Atau dapat ditulis menjadi:

L_nY_i = L_nα_o – βL_nC_i + U_i

Dimana L_n = Logaritma natural yaitu log dengan basis e;e = 2,718. Fungsi ini merupakan fungsi linier dalam log, karena variable In Y adalah fungsi linier variable In X. Istilah matematisnya adalah model *log-log* (double-log) atau model “log-linier” (log-linear).

Model di atas dapat ditulis menjadi Y_i* = α –βX_i* +U_i, dimana, Y_i* = L_nY_i, X_i* = L_nX_i dan α = Lnαo. Penaksir-penaksir OLS,

_o dan

yang diperoleh merupakan penaksir-penksir α dan β yang memenuhi sifat BLUE.

Model “log-linier” memiliki dua sifat khusus , yaitu:

(a) Model ini mengasumsikan bhwa koefisien elastisitas antara Y dan X (yaitu β) adalah konstan. Model ini disebut “model elastisitas konstan* (constant elasticity model).

(b) Walaupun

dan

merupakan penaksir-penaksir yng tidak bias terhadap α dan β, namun “antilog”-nya (yaitu

_o) merupakan penaksir yang bias (biased estimator). Meskipun demikian,

_omerupakan penaksir yang konsisten bagi

_o.Biasanya analisis ekonomi difokuskan pada slope, yakni β, sehingga tidak perlu dirisaukan meskipun

_omerupakan penaksir yang bias.

2. Model-model Semilog

Dua bentuk model berikut ini disebut model semilog, yaitu:

L_nY_i = α_o + α₁X_i + U_i, dan

Y_i = β_o + β₁L_nX_i + U_i

Pada model yang pertama terlihat bahwa slope (α₁) mengukur perubahan proporsional Y sebagai akibat perubahan absolute X, yaitu:

α₁ =

(L_nY_i) = (

) (

)

= (

) (

) =

Oleh karena itu,

α₁ = Perubahan Proporsional Y

Perubahan absolute Y

3. Model-Model Hiperbola atau Model Transformasi Terbalik

Model-model ini disebut model “Transformasi terbalik” (Recipro-cal Transformation):

Y_i = α+ β (

) + U_i

Jika α dan β positif, menunjukkan Y menurun secara nir-linier bila X menigkat. Y menurun secata kontinyu dengan meingkatnya X, kemudian mendekati nilai asimptotik konstan sebesar intercept model.

Model semacam ini mempunyai nilai asimptotik atau nilai limit (limit value) sebesar α dimana nilai variable terikat ditentukan oleh nilai X.

Bentuk lain dari model hiperbola adalah model log-hiperbola seperti berikut ini:

L_nY_i = α – β (

) + U_i

Atau Y_i = e^α-β/Xi U_i

6.2 Pemilihan Bentuk Fungsi

Dalam memilih bentuk fungsi yang cocok diperlukan kombinasi beberapa kriteria yang ada dalam teori ekonomi, seperti goodness of fit, dan kesederhanaan. Tidak ada aturan yang pasti untuk menentukan bahwa suatu bentuk fungsi adalah yang paling cock pada masalah tertentu. Namun ada baiknya memperhatikan beberapa kriteria umum berikut ini:

1. Dalam memilih bentuk fungsi harus memakai basis teori ekonom. pada hakikatnya tujuan ekonometrika adalah memberikan isi empiris teori ekonomi. Kalau pemilihan bentuk fungsi hanya berdasarkan pada “keindahan” bentuknya saja, tanpa pembenaran secara teoritis, maka yang diperoleh hanya sekedar “suatu pengukuran tanpa teori”. Pendekatan semacam ini bukanlah analisis ekonometri.

2. Bila terdapat dua bentuk fungsional yang cocok dan bisa menjelaskan suatu masalah dengan sama baiknya, maka lebih baik memilih bentuk yang lebih sederhana. Walaupun tidak selalu bisa ditentukan bentuk mana yang lebih sederhana, namun cukup masuk akal untuk mengatakan bahwa semakin sedikit jumlah parameter nya, berarti semakin sederhana bentuk suatu fungsi.

3. Bentuk fungsi harus mencakup (fit) data dengan sebaik-baiknya, model yang dihasilkan akan memiliki kekuatan prediksi yang baik. Kriteria ini disebut goodness of fit yang didasarkan pada nilai R². Semakin besar R^2,maka semakin banyak proporsi variasi variabel terikat yang bisa dijelaskan oleh variasi variabel-variabel bebasnya.

6.3 Pengujian Linieritas

Ada 3 cara uji linearitas suatu model, yaitu:

1. Menguji hipotesis linier dengan hipotesis alternatif yang mengasumsikan suatu fungsi pangkat derajat tertentu.

Contoh : Ada dua pilihan bentuk fungsi, yaitu:

Linier : Y_i = α + β_i X_i+ U_i, dan

Kubik : Y_i = α + β_i X_i+β₂ X_i²+β₃ X_i³U_i

Bila ingin menguji hipotesis, bahwa persamaan regresi populasi adalah linier dengan hipotesis alternatif yang menyatakan persamaan regresi diwakili oleh fungsi polinomial derajat tiga, maka rumusan hipotesisnya adalah:

H_o: β₂= β₃ = 0, model sebenarnya adalah linier

H_a : H_o salah.

Untuk menguji hipotesis nol: β_2
= β₃ = 0, diperlukan perhitungan statistik-F :

F = (ESS_Q-ESS_I) / (Q-L)

RSS_Q / (N-Q)

2. Implikasi dari bentuk linier adalah bahwa lereng dan intercept persamaan regresi harus tetap konstan untuk seluruh nilai variabel bebasnya. Untuk menguji hal ini, sampel dibagi menjadi dua subsampel, kemudian ditaksir slope dan intercept antara kedua subsampel tersebut. Apabila hasil pengujian menunjukkan ada perbedaan yang berarti, maka persamaan regresi populasi seharusnya tidak linier.

Subsampel 1: X₁, X₂, ..., X_m

Subsampel 2: X_m+1, X_m+2, ..., X_N

Untuk menetapkan model regresinya digunakan variabel “dummy”, yaitu:

Y_i = α + β_i X_i+β₂ D_i1+β₃(X_iD_i1)+β₄ D_i2+β₅(X_iD_i2)+ U_i

D₁ = 1 jika i merupakan subsampel 1

0 jika bukan subsampel 1 (otherwise)

D₂ = 1 jika i merupakan subsampel 2

0 jika bukan subsampel 2

Selanjutnya hipotesis tentang linieritas dapat diuji sebagai berikut:

H_o: β₂= β₃ = β_{4 =} β₅ =0

H_a : H_o salah.

Persamaan regresi subsampel pertama, adalah:

Y_i = (α + β₂) +(β₁ + β₃) X_i + U_i

Sedangkan persamaan regresi subsampel kedua, adalah:

Y_i = (α + β₄) +(β₁ + β₅) X_i + U_i

Jika H_o benar, kedua persamaan itu mempunyai intercept (= α) maupun slope (=β₁₎yang sama. Untuk menguji H_o, digunakan statistik-F seperti cara (1).

3. Pengujian linieritas dapat dilakukan dengan mengamati pola-pola faktor residu (e₁)_.Biasanya, asumsi faktor-faktor gangguan menyatakan bahwa faktor-faktor gangguan tersebar secara randomdi sekitar garis regresi populasi, atau faktor-faktor gangguan cenderung tidak memiliki pola khusus, jika garis regresi populasi tidak liier, maka sebaran random disekitargaris lurus. Oleh karena itu, cara yang paling umum untuk menguji pola sebaran faktor gangguan adalah degan menggambar faktor-faktor residu dan variabel terikat yag diamati dalam satu kuadran.

6.4 Waktu sebagai Pendeteksi Kecenderungan (Trend Variable)

Variabel waktu dimasukkan ke dalam model berdasarkan alasan-alasan berikut:

1. Variabel trend (variabel waktu) merupakan pengganti bagi variabel dasar yang tidak dapat diamati secara langsung namun disadari mempunyai pengaruh rterhadap variabel terikat.

2. Perhatian juga dapat difokuskan untuk mengamati perilaku variabel terikat, selama periode waktu tertentu. Tujjuannya bukan untuk meneliti penyebab terjadinya kecenderungan naik atau turun, tapi untuk memperoleh gambaran mengenai pola data sepanjang kurun waktu tertentu.

Bentuk-bentuk Fungsi Alternatif yang Digunakan dalam Persamaan Trend

(a). Persamaan-trend linier: Y_t = α+βt+U_l

Dalam bentuk ini, β adalah suatu konstan yang menunjukkan perubahan absolut dalam Y per satuan waktu. Dalam kasus normal, yaitu β positif berarti pertambahan t memperlambat tingkat pertumbuhan akumulatif dari variabel terikat Y

(b). Persamaan-trend eksponensial :

Contoh : Y_t = α+βe^τt

Y_t= α+β^-τt

Y_t= α+β(1-e^-τt)

α, β, dan τ adalah konstanta-konstanta positif persamaan trend di atas.

(c). Persamaan-trend logistik:

Y_t

6.5 Penaksiran Model-model Regresi Nir-linier

6.5.1. Model Linier Intrinsik

(a). Transformasi dari Model Polonomial

Y_i = β₀+β₁+X_i+β₂X_i²+...+β_nX_iⁿ+U_i

Dimana X_iadalah nir-stokastik dan U_i memenuhi semua asumsi model regresi linier klasik.

Untuk penaksiran OLS, variabel-variabel nir-linier di beri label baru misalnya X² = Z₁,X³ = Z₂

Sehingga menghasilkan persamaan linier

Y_i = β₀ + β₁X_i +β₂Z_1i + β₃Z_2i...+ U_i

(b). Transformasi dari Model Elastisitas Konstan

Berbentuk double-log

Hubungan nir-linier: Y = αX₁^β1X₂^β2

Log Y= log α + β₁log X₁+ β₂ log X₂

Atau dalam bentuk linier:

Y^*= α^*+ β₁X₁^* + β₂X₂^*

Faktor gangguan dimasukan dalam 2 cara

Dalam bentuk perkalian Y_i= αX₁^β1X₂^β2U_i

Dalam bentuk penambahan Y_{i =}αX₁^β1 X₂^β2 + U_i

Model model linier intrinsik, yaitu model dengan bentuk multiplikatif:

Y_i = α X₁^β1X₂^β2 U_i

Untuk fungsi ini tidak dapat ditetapkan E(U) = 0 karena kalau ditetapkan demikian, fungsi tersebut akan lenyap, mengingat secara rerata merupakan perkalian dengan nol. Sebagai gantinya disarankan mengambil salah satu dari bentuk berikut :

Y_i = α X₁^β1X₂^β210^Ui (6.1)

Atau

Y_t= α X₁^β1 X₂^β2e^Ui(6.2)

Bentuk (6.1) menggunakan logaritma dengan basis 10, sedangkan bentuk (6.2) menggunakan logaritma dengan basis “e” (logaritma natural). Bentuk-bentuk ini dapat digunakan untuk keperluan transformasi, sehingga:

Y^*=α + β₁X₁^*+ β₂X₂^*+ Ui (6.3)

Dimana tanda “bintang” menunjukkan bahwa variabel yang bersangkutan dalam logaritma (basis 10 ataupun basis e) dari nilai nilai variabel aslinya. Dengan bentuk ini, dapat diterapkan asumsi faktor gangguan:

E[U_i] = 0_,E[U_i²] = σ_u² , E[U_iU_j] = 0 untuk i ≠ j, dan E[UX] = 0

α^*= log α , dan anti log-nya :

α = e^α*(kalau logaritma natural)

Jadi taksiran α akan menjadi :

^α

Tapi

adalah penaksir yang bias terhadap α

Jadi dalam model ini:

E(Y) ≠ α X₁^β1 X₂^β2

Karena:

E(e^U) ≠ e^E(U)= e⁰ = 1

Artinya, E(e^U) ≠ 1 tapi sama dengan nilai konstanta selain 1,

Sehingga:
E[Y] = α E[e^u] X₁^β1X₂^β2 = (αC) X₁^β1X₂^β2

( dimana “c” menunjukkan beberapa nilai konstan )

6.5.2. Model Nir-linier Intrinsik

(a). Model Elastisitas Konstan Aditif

Y_{i =}α X₁^β1X₂^β2+ U_i(6.4)

Dalam hal ini tidak ada transformasi yang dapat mengubah model (6.4) menjadi bentuk hubungan linier dalam parameternya. Akan tetapi jika X₁dan X₂ adalah nir-stokastik dan U_i memenuhi semua asumsi model regresi linier klasik, maka metode “maximum likelihood” digunakan untuk menaksir model semacam itu.

Dengan anggapan bahwa U_iberdistribusi normal, fungsi log “likelihood” untuk sampel yang berukuran N adalah

[Σ(Y_i-α X₁^β1X₂^β2) ²]

(b). Fungsi Produksi CES (Constant Elasticity of Substitution)

Q₁ = A [αK_i^-τ+ (1- α) L_i^-τ]^-v/τ e^Ui(6.5)

6.5.3. Aplikasi Penaksiran Model-model Elastisitas Konstan

Contoh :

Tabel 6.2 menunjukkan total investasi bersih (I), dalam miliar rupiah dan tingkat bunga (i) dalam persen. Fungsi total investasi bersih untuk seluruh perekonomian diasumsikan berbentuk :

I = f(i) = α(i)^β.

Hasil perhitungan ditunjukkan pada Tabel 6.2 :

Tabel 6.2. Tabel Kerja untuk Model : I = α(i)^β

(i)

log_eα = {Ȳ - (-1,2965)(1,5175)} = 3,0812

(ii) R^{2 =}

= 0,93

(iii) =

⁼

^{= 0,0379}

(iv) Var (β) =

= 0,0141

Jadi, SE(β)

= 0,1188

(v) Hasil-hasil regresi tersebut dapat disajikan sebagai berikut:

log_eI = 3,0801 – 1,2957 log_e(I) R² = 0,93

(0,1188)

atau: Ȋ = α^* (i) ^-1,2965 dimana, α^* log _e= 3,0801

Hasil-hasil tersebut menunjukkan bahwa elastisitas Investasi terhadap tingkat bunga (interest elasticity) adalah : -1,2965. Ini berarti permintaan akan investasi “elastis” terhadap perubahan tingkat bunga, dan hasil elastisnya nyata (significant) secara statistik.

Dalam teori ekonomi dikatakan bahwa bila β₁+β₂= 1 makan proses produksi termasuk constant return to scale. Untuk menguji sifat “returns to scale” fungsi produksi dapat dilakukan dengan uji-t menggunakan statistik berikut ini :

Jika nilai-t dihitung lebi besar daripada nilai-t kritis yang dipilih pada tingkat significant tertentu, maka hipotesis yang mengatakan “constant return to scale” ditolak.

6.5.4 Penaksiran Fungsi yang Mengandung Kendala (Constraint)

Sering kali model yang akan diestimasi berupa model yang mengandung kendala atau batasan (restrictions). Misalnya, secara a priori diketaui bahwa fungsi produksi yang diamati adalah Q_i = Ai_I^β1K_i^β2U_imempunyai sifat “constant return to scale”, sehingga kendala (constraint) β₁+ β₂= 1 harus dipenui dalam menaksir β₁dan β_{2 .}

Dalam kasus restriksi

Dalam kasus restriksi linier yang sederhana semacam ini, modifikasi dapat dilakukan terhadap prosedur penaksiran menjadi seperti berikut ini :

Fungsi produksi: Q_i= A L_i^β1K_i^β2U_i

Log_eQ_i = log_eA +β₁log_eL_i+ β₂ log_eK_i+ log_eU_i

Substitusikan β₂ = 1 - β₁

Log_e Q_{i =}log_eA + β₁log_eL_i+ (1- β₁) log_e K_i+ log_e U_i

Sehingga :

Log_e Q_i - log_e K_i = log_eA + β₁(log_eL_i - log_e K_i) + log_e U_i

Log_e

= log_eA + β₁log_e

+ log_eU_i

(Xi-Ẋ) = [(log L-log K)-(log L-log K)]

= [(log L-log L)-(log K- log K)]

(Yi-Ẏ) = [(log Q-log K)-(log Q-log K)]

= [(log Q-log Q)-(log K-log K)]

Anggaplah:

(log L-log L) = l (log K-log K) = k

dan: (log Q-log Q) = q

Maka:

β1 = ∑(Ii-ki)(qi-ki) = ∑qiIi-∑qiki-∑Iiki+∑ki²

∑(Ii-ki)² ∑Ii²-2∑Iiki+∑ki²

Untuk memperjelas masalah ini, perhatikan contoh hipotesis mengenai penaksiran fungsi produksi Cobb-Douglas dengan “constant returns to scale” berikut ini.

Contoh 3:

Berikut ini tersedia data dari 28 perusahaan yang membentuk logaritma, sebagai berikut:

∑Qi² = 25213,6 ∑LiKi = 5610,0 Q = 30,0

∑Ki² = 2830,0 ∑QiKi = 8415,0 K = 10,0

∑Li² = 11220,0 ∑QiLi = 16815,0 L = 20,0

Data ini dapat diubah menjadi bentuk deviasi sebagai berikut :

∑qi² = ∑Qi²- nQ² = 25213,6 - 25200,0 = 13,6

∑ki ² = ∑Ki²- nK² = 2830,0 – 2800,0 = 30,0

∑Ii ² = ∑Li²- nL² = 11220,0 – 11200,0 = 20,0

∑kiIi = ∑KiLi- nKL = 5610,0 – 5600,0 = 10,0

∑kiqi = ∑KiQi- nKQ = 8415,0 – 8400,0 = 15,0

∑Iiqi = ∑LiQi- nLQ = 16815,0 – 16800,0 = 15,0

Dengan menstubtitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam:

β1 = ∑(Ii-ki)(qi-ki) = ∑qiIi-∑qiki-∑Iiki+∑ki²

∑(Ii-ki)² ∑Ii²-2∑Iiki+∑ki²

diperoleh:

β1 = 15 – 15 – 10 + 30 = 20 = 0,67

20 – 2 (10) + 30 30

atau:

β2 = 1 – β1 = (1 – 0,67) = 0,33

Jadi, taksiran fungsi produksi “constant returns to scale” adalah:

Qi = A* Li⁰'⁶⁷ Ki⁰'³³

Dengan demikian, taksiran fungsi produksi dengan restriksi“constant returns to scale” adalah:

Qi = e¹³'³ Li⁰'⁶⁷ Ki⁰'³³

Kalau restriksi “constant returns to scale” ditiadakan, maka dengan data yang sama, diperoleh taksiran:

Qi = e¹⁵'⁰ Li⁰'⁶⁰ Ki⁰'³³

Masalahnya, bagaimana menguji validitas restriksi β1+β2=1

Validitas restriksi dapat diuji dengan menerapkan uji-F menurut prosedur berikut:

Misalnya ∑e₁² = RSS, jumlah kuadrat residu (residual sum of square) dari fungsi tanpa

restriksi

∑e₂² = RSS dari fungsi dengan restriksi

n = jumlah pengamatan

k = jumlah parameter dalam fungsi “tanpa restriksi”

m = jumlah restriksi linier yang dimasukkan (dalam contoh ini adalah 1).

Maka:

F = (∑e₁²-∑e₂²) / m

∑e₁² / (n-k)

yang mengikuti distribusi F dengan derajat bebas: m, (n-k).

Jika nilai F hitung secara statitik tidak signifikan maka hipotesis yang menyatakan restriksi linier itu valid tidak ditolak. Jika nilai F hitung signifikan secara statistic, maka hipotesis yang menyatakan parameter-parameter itu merupakan restriksi linier ditolak; dengan demikian fungsi “dengan restriksi” berbeda dengan fungsi “tanpa restriksi”.

6.6. Metode Alternatif untuk Menaksir Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Paling sedikit ada lima metode untuk menaksir parameter-parameter fungsi produksi Cobb_Douglass (C-D), sesuai alternative asumsi dan masalah ekonometri.

a. Metode pertama, menaksir fungsi produksi alam dalam bentuk log-lignier. Metode ini membutuhkan beberapa asumsi lanjutan, misalnya berkaitan dengan “returns to scale” yang menimbulkan beberapa masalah dalam penaksiran. Masalah-masalah yang akan muncul dalam menaksir fungsi C-D adalah: penyimpangan simultan, multikolinieritas, dan heteroskedastisitas.

b. Metode kedua, menaksir fungsi produksi melalui “persamaan yang menunjukkan intensitas penggunaan input” (intensive form equation), yaitu suatu persamaan yang menghubungkan antara output tenaga kerja dengan nisbah capital tenaga kerja. Asumsi yang mendasari pengubahan bentuk fungsi produkski menjadi intensive form equation yaitu asumsi constant returns to scale:

log₍ Qi₎ = β₀+ β₁ log Li + Ui

Metode ini dapat menghilangkan masalah multikolinieritas dan heteroskedastisitas, tetapi membutuhkan asumsi dasar tentang constant returns to scale, sehingga tidak dapat digunakan untuk menguji increasing returns to scale ataupun decreasing returns to scale.

c. Metode ketiga, metode yang didasarkan pangsa (share) penghasilan tenaga kerja dalam output total, dengan mengamsusikan constant returns to scale, bersama-sama dengan asumsi persaingan sempurna dan maksimisasi keuntungan,.

Metode ini pada dasarnya adalah pendekatan klasik dalam penaksiran fungsi C-D. dalam keseimbangan klasik diperlukan persyaratan bahwa produktivitas marjinal sama dengan upah riil:

δQi = β₁ Q₁ = w (i)

δLi Li p

δQi = β₂ Q₁ = ῑ (ii)

δKi Li p

(w=upah, ῑ=tingkat bunga, p=harga produk).

Dengan tambahan asumsi constant returns to scale:

β₁ = wLi = SL (pangsa penghasilan tenaga kerja dalam output nasional).

pQi

β2 = 1- β₁

Dengan cara ini, pangsa penghasilan merupakan taksiran langsung untuk β₁ maupun β2, berdasarkan asumsi-asumsi ekonomi klasik. Parameter ini di ditaksir dengan data silang waktu (cross section) atau data runtun waktu (time series). Hasilnya merupakan rerata ukur dari pangsa penghasillan yang dihitung setiap satuan produksi atau setiap periode. Metode ini tidak memelukan data input capital, tetapi tergantung pada asumsi constant returns to scale, sehingga tidak dapat digunakan untuk menguji hipotesis tentang returns to scale lainnya.

d. Metode keempat, masih didasarkan pada asumsi klasik. Metode ini memanfaatkan persamaan-persamaan produktivitas marginal (i) dan (ii) dari metode ketiga diatas. Persamaan (i) menunjukkan fungsi log-linier antara output per tenaga kerja dengan upah riil:

log Qi = log w _ log β₁

Li p

Fungsi ini dapat diestimasi untuk mendapatkan koefisien elastisitas, β, dengan cara menambahkan faktor gangguan stokhastik, Ui. Dengan penambahan, fungsi diatas menjadi:

log Qi = a log w _ log β₁+ Ui.

Li p

Dalam mengestimasi fungsi tersebut harus memenuhi syarat a=1. Metode ketiga dan keempat dapat menghilangkan masalah bias simultan, multikolinieritas, dan heteroskedasititas, tetapi membutuhkan asumsi-asumsi: constant returns to scale, persaingan sempurna dan maksimisasi keuntungan. Pilihan terbaik dari berbagai metode diatas, akhirnya tergantung pada apa yang dapat diasumsikan dan apa yang diselidiki. Sampai sekarang masih sedikit penelitian yang bisa menunjukkan taksiran mana yang paling mendekati nilai parameter sesungguhnya.

e. Metode kelima, fungsi C-D ditransformasikan menjadi model persamaan simultan untuk menaksir koefisien-koefisien elastisitasnya. Model ini terdiri dari tiga persamaan:

Q₁ = A Liᵝ¹ Kiᵝ² eˇⁱ

δQi = β₁ Q₁ = w eˇⁱ

δLi Li p

δQi = β₁ Q₁ = ῑ eʷⁱ

δLi Li p

dengan mengambil logaritmanya:

log Q₁ = A + β₁ log Li+ β₂ log Ki + Ui

log Q₁ = - log β₁ + log Li + log w + Vi

log Q₁ = - log β₂ + log Ki + log ῑ + Wi

bentuk persamaan logaritma diatas merupakan bentuk structural sebuah sistem persamaan yang mengandung log Q₁, log L₁, dan log K₁ sebagai variabel-variabel endogen, serta log (w/p) dan log (ῑ/p) sebagai variabel eksogen, dengan asumsi adanya persaingan sempurna. Oleh karena sistem persamaan tersebut tidak bisa diidentifikasikan, maka berbagai restriksi dimasukkan untuk menaksir model simultan tersebut.